它是至今无解的世界难题,却被预言将会由一个中学生来完成证明
喵喵兽
01月14日

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证明不了

就暴力穷举

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今天,在进入正题之前,超模君先来讲讲一位教授的尴尬事。

在19世纪末的德国,有位数学教授叫闵可夫斯基,曾是爱因斯坦的数学老师,他创建的闵可夫斯基时空为后来广义相对论的建立提供了框架。

在那个时候,爱因斯坦老是不去听课,以至于被闵可夫斯基骂他“大懒虫”。但万万没想到的是,这个懒虫后来竟然创立了著名的狭义相对论和广义相对论。

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闵可夫斯基

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不过,在闵可夫斯基的一生中,还有一个比骂爱因斯坦是懒虫更加尴尬的事。

有一天,闵可夫斯基刚走进教室,就有一学生递来一张纸条,上面是学生遇到的一个难题。

闵可夫斯基一看纸条,哦,原来是这个问题啊,便微微一笑,对学生说:“这个问题是一个著名的数学难题。其实它之所以一直没有得到解决,仅仅是因为没有第一流的数学家来解决它而已。

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为了展现自己一流数学家的身手,闵可夫斯基决定当堂就将“问题”变成“定理”。

然而,学生们就这样看着老师在黑板上演算了一节课,写满了好几个黑板,证明还是没有任何进展。

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随后的好几天,闵可夫斯基都沉浸在这个问题当中,表示就算是为了面子也要证明出来。。。

直到后来的某一天,闵可夫斯基继续在黑板上证明时,突然天上一声霹雳雷鸣,风雨大作,他便借此开始自嘲:“哎呀,上帝这是在责备我狂妄自大呢!我解决不了这个问题。我们还是返回我们正常的课吧。”

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这个问题就是四色问题,是世界三大数学猜想之一(另外两个是费马大定理、哥德巴赫猜想),是指“任何一张地图只用4种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”

用数学语言表示就是:

“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

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尽管早在1976年,人们就通过计算机用暴力“穷举法”验证的四色问题的正确性,因此四色问题也称四色定理。

然而,到目前为止,还是没有人能给出一个严格的逻辑推理证明。

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而这个困扰人们一百多年的问题,最初是由一个搞地图测绘的大学生提出的。

在1852年,伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)在一家科研单位搞地图着色工作时,他发现无论地图有多复杂,总是能用4种颜色给不同的区域上色,且不会出现相邻区块颜色一样的情况。

格斯里心想:这个现象能否从数学上给个严格的证明出来呢?

于是,格斯里拉上弟弟开始四色问题的首次证明,结果当然是没有成功,尽管稿纸已经用了一大堆了。。。

后来,他弟弟拿着问题跑去找他的老师、数学家德摩根,然而,尽管德摩根对这个问题非常感兴趣,却苦于自己无法证明,便写信给好友大数学家、物理学家哈密顿请教。

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就是在德摩根写给哈密顿的信件里,四色问题被首次记载下来,这个信件现在就存放在

都柏林三一学院。

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德摩根写给哈密顿的信件

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至此,四色问题就被抛到哈密顿手里,可惜的是,这个问题并没有引起哈密顿的重视,

直到1865年哈密顿逝世,问题依然没得到解决。

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哈密顿:还好当初我没怎么理

从此,四色问题开始在一些人中间传来传去,而当时三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”,“四色瘟疫”也悄无声息地慢慢传播开来。

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不过,就这样在“民间”传了二十多年,仍然没有人能够解决。并且,直到1878年,才被转正。

只见当时英国最为著名的数学家凯利在那一年的伧敦数学会上,正式向大家询问:“四色问题是否已经得到解决?

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估计当时其他数学家都是这样想的:凯利耶,他看中的问题肯定不同凡响,那我也来试试,到时万一解出了岂不是赚大发了。

于是,四色问题就这样成为了世界数学界关注的问题,世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色问题的证明大战。

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凯利:来来来,这道题简单,大家快来做呀

而律师出身的肯普也耳尖得知了这个消息,而且,用了不到一年的时间,便完成了一篇论文,在《自然》杂志里宣布他解决了四色问题,证明了四色猜想是正确的。

一时间,大家都认为四色猜想就这样得到了解决,肯普的证明一度被广为接受,而攻克四色问题的热度也慢慢降了下来。。。

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不过,并不是每一个业余数学家都可以像费马这样厉害的,就在1890年,肯普的证明被正在牛津大学读书的学生希伍德指出存在一个致命的错误——肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由是有破绽的。

值得欣慰的是,希伍德也没有完全否认肯普的证明,运用肯普发明的方法可以证明较弱的五色定理,只见希伍德如此评论肯普的论文:

“肯普的证明过程非常出色。他确实错了,但这是一个非常出色、但是错了的证明过程。”

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这样一来一去,四色定理这个坑又增加了不少人,所有人都相信这个命题是正确的了,奈何却一直找不到证明的方法。不仅仅是数学家,很多数学爱好者也醉心于此。

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鉴于这种尴尬的情况,《纽约时报》也开始怀疑人生,表示不跟着他们玩了:以后本报再也不会报道任何有关四色问题的新闻了,因为所有的证明都是假的!!

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虽然无数种证明都被否定了,但其中也不乏诞生一些新的方法,好比肯普的证明中,他就引入了“构形”与“可约”两个重要概念,逐步发展出的检查构形以决定是否可约的一些标准方法,能够寻求可约构形的不可避免组,成为了解决四色问题的重要依据。

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进入20世纪之后,人们对四色猜想的证明,基本上是按照肯普的想法在进行,虽然进程有点缓慢。

1913年,美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,证明了某些大的构形可约;

1939年,美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色;

1950年,温恩从22国推进到35国;

1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色;

随后又推进到了50国,甚至是95国,四色猜想都是正确的。

可怕的是,还是没能证明任意地图都是可以用四色着色的。

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肯普使用的不可避免可约构形集:邻国有2、3、4、5个国家

直到电子计算机的问世,德国数学家海因里希·黑施开始通过电脑程序来证明四色问题,计算机的运算能力时人类不能比的,数学家们也迅速加入了用计算机开展证明的行列。

终于在1976年,美国伊利诺斯州大学的两位数学家肯尼斯·阿佩尔沃夫冈·哈肯,宣布他们用电子计算机“证明”了四色问题。

他们构造了近2000个图,用高速运转的电子计算机分1482种情况进行了验证,占用了1200多个机器小时,作了100亿个判断最终证明了四色定理。

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当证明出来的时候,阿佩尔兴奋到忍不住在黑板上写下了感言:“程序已仔细测试,看来四色足够。”

而宣布结果当天,当地的邮局发出的邮件上也加盖了“四色足够”的特制邮戳,以庆祝这一世界难题终于被解决。

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凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯在证明四色定理

尽管四色问题的计算机证明,轰动了整个数学界,但是,阿佩尔与哈肯的这种证明方式并没有完全得到人们的接受。

虽然他们也提供了长达700多页的手工证明过程,但由于部分证明过程必须借用电子计算机,这些过程无法用手工查证(比如计算模型中不可约构形集是否完备、程序运行是否精确、逻辑运算是否严密等问题),因此,很多人并不认同这叫“证明”

很快,关于四色问题的计算机证明就这样分成了两派,40岁以上的,不相信电脑可以用来证明数学定理,40岁以下的,则不相信700页长的手工证明过程中不会出错。

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对这一问题的争论,甚至上升到了哲学高度,在1979年的《哲学期刊》上,哲学家托玛兹克就曾发表文章指出一个有效的“证明”必须既“可信”又“可证”,如果通过电脑协助的阿佩尔-哈肯证明被接受的话,就意味着“证明”这个概念发生了变化。

这篇文章引发了激烈的争议,但是,以后的发展说明采用电脑协助证明数学定理已经越来越为人接受。

对此,超模君想说,每一个数学难题的解决,都伴随着巨大的争议以及新理论体系的诞生,也许,我们无法看懂他们大数学家的证明,但了解他们在证明过程中精彩的故事,也未尝不是一件有趣的事。

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至于何时会有人来完全通过逻辑推理来证明,我们也只能不断期待,说不定,明天就被证明了呢。

阿佩尔和哈肯也曾表示,四色猜想的推理证明是非常必要的。并且预言了,将来可能会有一位中学生来完成这个证明。

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